Ряды фурье в excel
Поскольку БПФ по сравнению с обычным анализом Фурье многократно уменьшает объём вычислений (см. выше), именно метод БПФ реализован в MS EXCEL инструментом «Анализ Фурье» (рис. 8.9).
Рис. 8.9. Окно инструмента «Анализ Фурье»
Эта процедура поддерживает также обратные преобразования, при этом инвертирование преобразованных данных возвращает исходные данные. Если установлен флажок в поле «Инверсия», то данные во входном диапазоне считаются преобразованными, и выполняется обратное преобразование, возвращающее их в выходной диапазон в исходном состоянии. Если флажок снят, то выполняется прямое преобразование.
Комплексные данные должны задаваться в формате х + yi. Число значений во входном интервале должно быть равно 2 k (см. выше). Если х является отрицательным числом, перед ним ставится апостроф (‘). Максимальное число значений, предназначенных для БПФ в программе EXCEL, равно 4096.
Пример. Имеются исходные данные, представляющие собой результаты последовательных замеров толщины пластин (см. выше), заданные столбцами в файле «временные ряды». С помощью инструмента «Анализ Фурье» провести прямое и обратное преобразования, построить амплитудный и фазовый спектр.
Алгоритм действий следующий:
1. Формируем таблицу исходных данных:
Сервис – Анализ данных – Анализ Фурье – OK.
Задаём входной интервал в виде столбца данных длиной 2 k , например А10:А137 и выходной интервал (верхнее поле, начиная с которого будут приведены выходные данные) и нажимаем ОК.
Excel представит результаты прямого преобразования Фурье в виде столбца комплексных чисел в формате х + yi.
2. Для восстановления исходных данных после преобразования Фурье за входной интервал необходимо взять столбец результатов прямого преобразования Фурье и поставить флажок в поле «Инверсия».
3. Для построения значений амплитудного спектра воспользуемся функцией или формулой = MHИM.ABS. Сосчитаем с её помощью модуль комплексного числа, расположенного в верхней ячейке столбца комплексных чисел, полученных по п. 1. Затем, копируя ячейки, распространим эту формулу на весь столбец комплексных чисел. По полученному ряду (или столбцу) модулей комплексных чисел можно построить график амплитудного спектра, например, в виде столбчатой диаграммы («Мастер диаграмм» – «Линейчатая»).
4. Для построения значений фазового спектра воспользуемся функцией или формулой = МНИМ.АРГУМЕНТ, выражающей угол наклона вектора комплексного числа в радианах. Аналогично п. 3 распространим эту формулу на весь столбец результатов прямого преобразования Фурье (см. п. 1). По полученным данным аналогично п. 3 можно построить график амплитудного спектра.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10809 – | 7380 – или читать все.
Сегодня мы будем тестировать разложение функции в ряд Фурье, которое мы делали на прошлом уроке. И так, напомню, что мы раскладывали в ряд Фурье вот такую функцию:
В итоге мы вывели формулу разложения в ряд Фурье для этой функции:
Теперь начинаем ее проверять. И так, открываем Excel и заносим первое значение x (- π) * :
Затем вычисляем остальные значения. Пусть у нас будет шаг π/10*:
Копируем формулы вниз*:
Во втором столбце вычисляем значения функции*:
Поскольку у нас функция выражена зависимостью:
то формулу копируем только до x=0 * :
а дальше заполняем нулями*:
где нибудь в отдельном столбце считаем первый член ряда Фурье, аналогичным образом копируем формулу. Строим еще несколько столбцов с вычислением членов ряда Фурье. Затем суммируем их и строим график*:
Как видим, каждая новая итерация приближает график функции к исходному. Но что бы приближения было идеальным, нам потребуется очень много итераций, поэтому на следующем уроке будем писать программу на C#, которая сделает все расчеты за нас (вплоть до 1000 итераций).
Скриншоты, помеченные знаком *, являются цитатами и иллюстрациями программного продукта " Excel ", авторское право на который принадлежит Microsoft .
Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.
Методическое пособие разработано на кафедре информатики МичГАУ и рекомендовано студентам, изучающим математику, преподавателям, а также аспирантам, сталкивающимся с необходимостью математической обработки данных. В пособии рассмотрены элементы математического анализа, теория вероятностей, математической статистики и приведены примеры решения задач в среде Microsoft Excel.
Источник
Документация
Создайте и интегрируйте функции спектрального анализа
Обзор
Этот пример иллюстрирует создание всестороннего дополнения Excel ® , чтобы выполнить спектральный анализ. Это требует знания Визуальных форм Basic ® и средств управления и событий рабочей книги Excel. См. документацию VBA для полного обсуждения этих тем.
Вы создаете дополнение Excel, которое выполняет быстрое преобразование Фурье (FFT) на наборе входных данных, расположенном в обозначенной области значений рабочего листа. Функция возвращает результаты БПФ, массив точек частоты и степень спектральная плотность входных данных. Это помещает эти результаты в области значений, на которые вы указываете в текущем рабочем листе. Можно также опционально построить степень спектральная плотность.
Вы разрабатываете функцию так, чтобы вы могли вызвать ее в меню Excel Tools и могли выбрать области значений ввода и вывода через пользовательский интерфейс.
Создайте автономный COM-компонент из кода MATLAB ® .
Реализуйте необходимый код VBA, чтобы собрать вход и диспетчеризировать вызовы вашего компонента.
Создайте пользовательский интерфейс.
Создайте дополнение Excel и пакет все необходимые компоненты для развертывания приложения.
Создание компонента
Ваш компонент имеет один класс с двумя методами:
computefft — Вычислите БПФ и степень спектральная плотность входных данных, и вычислите вектор из точек частоты на основе длины вводимых данных и интервал выборки.
plotfft — Выполните те же операции как computefft , но также и постройте входные данные и степень спектральная плотность в Графическом окне MATLAB.
Примечание
Код MATLAB для этих двух функций находится в двух файлах MATLAB, computefft.m и plotfft.m .
Код для computefft.m :
Код для plotfft.m.m :
Создайте COM-компонент с помощью приложения Library Compiler и этих настроек:
| Установка | Значение |
|---|---|
| Имя компонента | Fourier |
| ClassName | Fourier |
| Папка Project | Имя вашей папки работы, сопровождаемой именем компонента |
| Покажите многословный выход | Выбранный |
Для получения дополнительной информации см. инструкции в Create Дополнение Excel из MATLAB.
Где пример кода?
Для получения дополнительной информации о доступе к примеру кода из продукта, смотрите, что Файл В качестве примера Копирует.
Интегрируйте компонент Используя VBA
Создав ваш компонент, можно реализовать необходимый код VBA, чтобы интегрировать его в Excel.
Примечание
Использовать Fourier.xla непосредственно в папке xlspectral , (см., что Файл В качестве примера Копирует), добавьте ссылки на Fourier 1.0 Type Library и MWComUtil 7. X Библиотека типов.
Выберите библиотеки
Чтобы открыть Excel и выбрать библиотеки, необходимо разработать дополнение:
Запустите Excel в своей системе.
Из главного меню Excel выберите Tools> Macro> Visual Basic Editor.
В Visual Basic Editor выберите Tools> References, чтобы открыть диалоговое окно Project References.
Выберите библиотеку типов Fourier 1.0 и библиотеку типов MWComUtil 7.x.
Создайте Основной Модуль Кода VB для Приложения. Дополнение требует, чтобы переменные кода инициализации и глобальные переменные содержали состояние приложения между вызовами функции. Чтобы достигнуть этого, реализуйте модуль Visual Basic кода, чтобы управлять этими задачами:
Щелкните правой кнопкой по элементу VBAProject по окну проекта и выберите Insert> Module.
Новый модуль появляется под Модулями в Проекте VBA.
В странице свойств модуля, набор Name свойство к FourierMain .
Введите следующий код в FourierMain модуль:
Создайте форму Visual Basic
Разработайте пользовательский интерфейс для своего дополнения с помощью Visual Basic Editor. Создать новую пользовательскую форму и заполнить его с необходимыми средствами управления:
Щелкните правой кнопкой по VBAProject по окну проекта VBA и выберите Insert> UserForm.
Новая форма появляется под Forms в окне проекта VBA.
В странице свойств формы, набор Name свойство к frmFourier и Caption свойство к Spectral Analysis .
Добавьте ряд средств управления к незаполненному бланку:
Средства управления для спектрального анализа
Заголовок = Plot time domain signal and power spectral density
Постройте входные данные и степень спектральная плотность.
Значение по умолчанию = верный
Выполните функцию и отклоните диалоговое окно.
Dismisse диалоговое окно, не выполняя функцию.
Заголовок = Input Data
Группа все элементы управления вводом.
Заголовок = Output Data
Группа все элементы управления выводом.
Заголовок = Input Data:
Маркируйте RefEdit для входных данных.
Заголовок = Sampling Interval
Маркируйте TextBox для интервала выборки.
Маркируйте RefEdit для частотного вывода.
Заголовок = FFT — Real Part:
Маркируйте RefEdit для действительной части БПФ.
Заголовок = FFT — Imaginary Part:
Маркируйте RefEdit для мнимой части БПФ.
Заголовок = Power Spectral Density
Маркируйте RefEdit для степени спектральная плотность.
Выберите область значений для входных данных.
Выберите выходную область значений для точек частоты.
Выберите выходную область значений для действительной части БПФ входных данных.
Выберите выходную область значений для мнимой части БПФ входных данных.
Выберите выходную область значений для степени спектральная плотность входных данных.
Когда форма и средства управления будут завершены, щелкните правой кнопкой по форме и выберите код View.
Следующий листинг кода показывает код, чтобы реализовать. Заметьте, что этот код ссылается на управление и имена переменных, перечисленные в Средствах управления для Спектрального анализа. Если вы использовали различные имена для каких-либо из средств управления или какой-либо глобальной переменной, измените этот код, чтобы отразить те различия.
Добавьте пункт меню спектрального анализа в Excel
Добавьте пункт меню в Excel так, чтобы можно было открыть инструмент в меню Excel Tools. Для этого добавьте обработчики событий для событий AddinInstall рабочей книги и AddinUninstall та установка и пункты меню удаления. Пункт меню вызывает LoadFourier функция в FourierMain модуль.
Реализовывать пункт меню:
Щелкните правой кнопкой по элементу ThisWorkbook по окну проекта VBA и выберите код View.
Поместите следующий код в ThisWorkbook .
Сохраните дополнение в <project-folder>\for_testing .
<project-folder> относится к папке проекта, что Library Compiler раньше сохранял проект Фурье.
Назовите дополнение Spectral Analysis .
Из главного меню Excel выберите File> Properties.
В диалоговом окне Workbook Properties кликните по вкладке Summary и введите Spectral Analysis как заголовок рабочей книги.
Нажмите ОК, чтобы сохранить редактирования.
Из главного меню Excel выберите File> Save As.
В диалоговом окне Save As выберите Microsoft Excel Add-In (*.xla) как тип файла и обзор к <project-folder>\for_testing .
Введите Fourier.xla как имя файла, и нажимают Save.
Протестируйте дополнение
Прежде, чем распределить дополнение, протестируйте его с демонстрационной проблемой. Спектральный анализ обычно используется, чтобы найти частотные составляющие сигнала проложенными под землей в шумном сигнале области времени. Создайте представление данных сигнала, содержащего два отличных компонента, и добавьте в него случайный компонент. Эти данные наряду с выходом хранятся в столбцах рабочего листа Excel, и вы строите сигнал временной области наряду со степенью спектральная плотность.
Создайте тестовую задачу
Запустите новый сеанс Excel с пустой рабочей книгой.
Из главного меню выберите Tools> Add-Ins.
В диалоговом окне Add-Ins нажмите Browse.
Просмотрите к <project-folder>\for_testing папка, выберите Fourier.xla , и нажмите ОК.
Дополнение Спектрального анализа появляется в доступном Дополнительном списке и выбрано.
Нажмите ОК, чтобы загрузить дополнение.
Это дополнение устанавливает пункт меню в соответствии с меню Excel Tools. Чтобы отобразить Спектральный анализ пользовательский интерфейс, выберите Tools> Spectral Analysis. Прежде, чем вызвать дополнение, создайте некоторые данные, в этом случае сигнал с компонентами на уровне 15 Гц и 40 Гц. Произведите сигнал в течение 10 секунд на частоте дискретизации 0,01 с. Поместите моменты времени в столбец A и точки сигнала в столбец B.
Создайте данные
Введите 0 для ячейки A1 в текущем рабочем листе.
Кликните по ячейке A2 и введите формулу "= A1 + 0.01" .
Кликните и содержите нижний правый угол ячейки A2 и перетащите формулу вниз по колонке к ячейке A1001. Эта процедура заполняет область значений A1:A1001 интервалом 0–10 постепенно увеличенных 0,01.
Кликните по ячейке B1 и введите следующую формулу
Повторите процедуру перетаскивания, чтобы скопировать эту формулу во все ячейки в области значений B1:B1001.
Запустите тест
Используя столбец данных (столбец B), протестируйте дополнение можно следующим образом:
Выберите Tools> Spectral Analysis из главного меню.
Кликните по полю Input Data.
Выберите B1:B1001 лежите в диапазоне от рабочего листа или введите этот адрес в поле Input Data.
В поле Sampling Interval введите 0.01 .
Выберите сигнал области времени Plot и степень спектральная плотность.
Введите C1:C1001 для частотного вывода, и аналогично вводят D1:D1001 , E1:E1001 , и F1:F1001 для БПФ действительные и мнимые части и спектральная плотность.
Нажмите ОК, чтобы запустить анализ.
Следующий рисунок показывает выход.
Степень спектральная плотность показывает два сигнала на уровне 15 Гц и 40 Гц.
Пакет и распределяет дополнение
Группируйте дополнение, COM-компонент и все библиотеки поддержки в самораспаковывающийся исполняемый файл. Этот пакет может быть установлен на других компьютерах, которые используют Spectral Analysis дополнение.
На разделе Main File панели инструментов выберите одну из этих двух опций.
У вас есть многие конечные пользователи, которые часто развертывают приложения
У ваших пользователей есть доступ в Интернет
Ресурсы, такие как дисковое пространство, эффективность, и время вычислений являются значительными опасениями за вашу организацию
У вас есть ограниченное количество конечных пользователей, которые развертывают несколько приложений в спорадических интервалах
У ваших пользователей нет доступа в Интернет
Ресурсы, такие как дисковое пространство, эффективность, и время вычислений не являются значительными проблемами
Примечание
Распределение MATLAB Runtime с приложением требует большего количества ресурсов.
Добавьте файлы других, которые были бы полезны для конечных пользователей.
Чтобы группировать дополнительные файлы или папки, добавьте их в поле Files installed for your end user. Смотрите Задают Файлы, чтобы Установить с Приложением.
Источник
Тема: Преобразование Фурье на пальцах, или почему не надо пугаться картинок из саундфоржа
Преобразование Фурье на пальцах, или почему не надо пугаться картинок из саундфоржа
Классическое дискретное преобразование Фурье в приложенном файле Эксель, с теплыми аналоговыми синусами и косинусами в формулах.
Длина ДПФ — 256.
На листе1 преобразование туда — и потом обратно (сильно ниже, надо много крутить колесом).
Зеленый столбец — наша функция (синус), заданная аналитически,
Красный столбец — то, что получилось после Фурье.
Ячейка в верхнем углу, залитая желтым цветом — это условная частота синуса для Fs=44100. Её можно менять!
На диаграмме1 сравнение того что было с тем, что получилось. Ничего интересного.
Самое интересное формируется на листе2!
Там всего-лишь 100 точек, но с передискретизацией х10.
Зеленым , как обычно, наша функция считается аналитически.
Синим — значения нашей функции из листа1, естественно они появляются раз из десяти.
Красным — тот самый обратный Фурье, только посчитанный для каждой точки, теперь уже с дробными значениями.
На диаграмме2 всё это нарисовано графически.
Никаких скрытых проводов под столом, никаких фокусов с частотой дискретизации . Все формулы открыты, ясны и понятны.
Скрытый текст
Немного моих комментариев:
Цифры в зеленом и красном столбцах несколько разнятся, это ошибки округления.
При приближении к Fs/2 конечно, точность падает. Я об этом писал здесь. Дальше 21000Гц с 256 точками залезть не получится.
ЗЫ: Не получилось залить целиком, пришлось по частям.
———- Сообщение добавлено 02.42 ———- Предыдущее сообщение было 01.55 ———-
Завтра, если будет время, попробую сформировать в Экселе апсемплинг через ЦФ.
Источник
Возможности программы MS Excel по анализу временных рядов и организации статистического мониторинга процесса металлообработки
Элементы диалогового окна «Скользящее среднее» представлены на рис. 8.9.
Рис. 8.9. Инструмент анализа «Скользящее среднее»
Необходимо ввести следующие аргументы:
— «Входной интервал» — анализируемый ряд (должен состоять из одного столбца или одной строки);
— «Интервал» — «размер окна» (по умолчанию используется 3);
— "Метки в первой строке" — необходимо установить флажок, если первая строка входного интервала содержит заголовки.
— "Выходной диапазон" — должен находиться на одном листе с исходными данными. По этой причине параметры «Новый лист» и «Новая книга» недоступны. Необходимо ввести ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона.
— «Стандартные погрешности» — если установлен флажок то выходной диапазон состоит из двух столбцов, и значения стандартных погрешностей содержатся в правом столбце.
— «Вывод графика» — если установлен флажок, то создаётся встроенная диаграмма на листе, содержащем выходной диапазон.
Элементы диалогового окна «Экспоненциальное сглаживание» представлены на рис. 8.10.
Рис. 8.10. Инструмент анализа «Экспоненциальное сглаживание»
Здесь имеется ранее не представленный аргумент «Фактор затухания», представляющий собой константу экспоненциального сглаживания — корректировочный фактор, минимизирующий нестабильность данных генеральной совокупности. По умолчанию значение аргумента «Фактор затухания» равно 0,3. Наиболее подходящими значениями константы сглаживания считаются от 0,2 до 0,3. Эти значения показывают, что ошибка текущего прогноза установлена на уровне от 20 до 30 процентов ошибки предыдущего прогноза. Более высокие значения константы ускоряют отклик, но могут привести к непредсказуемым выбросам. Низкие значения константы могут привести к большим промежуткам между предсказанными значениями.
Инструмент «Анализ Фурье»
Инструмент Анализ Фурье (рис. 8.11) предназначен для решения задач в линейных системах и анализа периодических данных, используя метод быстрого преобразования Фурье (БПФ). Этот инструмент позволяет производить также процедуру обратных преобразований Фурье, при этом инвертирование преобразованных данных возвращает исходные данные.
Рис. 8.11 Окно инструмента «Анализ Фурье»
Если установлен флажок в поле Инверсия (рис. 8.11), то данные во входном диапазоне считаются преобразованными, и выполняется обратное преобразование, возвращающее их в выходной диапазон в исходном состоянии. Если флажок снят, то в выходной диапазон выводятся преобразованные данные.
Комплексные данные должны задаваться в формате х + yi или х + yj. Число значений во входном интервале должно быть четным степени 2. Если х является отрицательным числом, перед ним ставится апостроф (‘). Максимальное число значений
С помощью инструмента «Анализ Фурье» можно провести прямое и обратное преобразования Фурье, построить амплитудный и фазовый спектр [ ].
8.7.3 Пример создания контрольной карты в рамках программы MS Excel
Для статистического контроля процесса металлообработки использовался предварительно разработанныйшаблон КК типа . На представленной КК (рис. 8.12) временной ряд результатов контроля характеристики качества (например, размера детали) располагается в предназначенном для этого столбце AD таблицы. Формирующая таблицу выборок функция СМЕЩ отбирает в заданном порядке значения контролируемой величины, формируя таблицу из 25 «механических» выборок объёмом по 5 значений в каждой, взятых равномерно от начала до конца анализируемого временного ряда. При этом исключаются начало и конец ряда (периоды настройки и возможного нарушения процесса, связанного, например, с катастрофическим износом инструмента).
Для этого определяется длина ряда (количество измерений) каждой партии (ячейка АС2). По формуле ОКРУГЛВНИЗ (($AC$2-2*130)/25;0) рассчитывается "шаг" между выборками (ячейка АС4), который в качестве аргумента входит в функцию СМЕЩ.
Одновременно автоматически рассчитываются:
— для каждой выборки среднее значение (XСР, функция СРЗНАЧ, ячейки C9-AA9), размах (RСР, функция МАКС(Xi)-МИН(Xi) ячейки C10-AA10);
— "генеральные" средние XСР, RСР, рассчитываемые как средние от средних (ячейки АC9-AС10);
— стандартное отклонение средних (функция СТАНДОТКЛОН, ячейка АC14), которое на КК невидимо, но используется в дальнейших расчётах;
— процент брака, рассчитанный исходя из таблицы выборок по нижней границе допуска (НГД), верхней границе допуска (ВГД) (функции, соответственно, НОРМРАСП(AC13;AC9;AC14;1)*100 и (1-НОРМРАСП(AC12;AC9; AC14;1))*100), общий (суммарный) процент брака по результатам контроля выборок (ячейки АC18-AС20) и, аналогично, по НГД, ВГД, общий (суммарный) по всему процессу (ячейки АC28-AС30);
– контрольные границы (КГ) верхние (ВКГ, UCL) и нижние (НКГ, LCL), определяемые по специальным коэффициентам относительно соответствующих средних значений (см. § 8.5.2). Расстояние между КГ для среднего меньше технического поля допуска: ВГД (ячейка АC12) — НГД (ячейка АC13); для среднего: ВКГ = AC9 + 0,577*AC10 (ячейка В11), НКГ = AC9 — 0,577*AC10 (ячейка В15), для размахов: ВКГ = 2,114*AC10 (ячейка В24), НКГ = 0 (ячейка В28). По полученным ВКГ, НКГ и центральной (средней) линии автоматически строятся КК;
Рис. 8.12 Контрольная карта временного ряда размера детали (dh), представленного в столбце AD
— индексвоспроизводимости (СР) [ ], представляющий собой отношение поля допуска к 6-кратному стандартному отклонению, определяется по результатам контроля выборок (функция (AC12-AC13)/(6*AC14), ячейка АC15) и по всему процессу ((функция AC12-AC13)/(6*СТАНД ОТКЛОН(AD2: AD3381)) ячейка АC24); рекомендуют — СР ³ 1,33;
— верхний индекс работоспособности (настройки)[ ] по результатам контроля выборок (CPK1) CPU = (ТВ — X)/3s (функция (AC12-AC9)/(3*AC14), ячейка АC16) и для всего рулона — ячейка АC25. (В отчие от [ ] индекс CPK здесь рассчитывается отдельно для верхней (CPK1) и для нижней (CPK2) границы поля допуска);
— нижний индекс работоспособности (настройки)по результатам контроля выборок (CPK2) CPL = (X — ТН)/3s (функция (AC9-AC13)/(3*AC14), ячейка АC17); и для всего рулона — ячейка АC26. (Два последних показателя настройки относительно верхней (ТВ) и нижней (ТН) границы поля допуска здесь заменяют обычно принятый в литературе [1, 3] индекснастройкиCPK, выражающий отклонение центра рассеяния относительно центра поля допуска).
Аналогичным образом могут быть построены шаблоны КК любых других типов, см. § 8.5.1.
8.8 Вопросы и задания к главе 8.
8.1. Дайте классификацию временных рядов
8.2. Назовите основные компоненты временных рядов.
8.3. Перечислите основные методы и способы сглаживания
8.4. Объясните сущность гармонического анализа.
8.5. Приведите классификацию контрольных карт.
8.6. Назовите инструменты анализа временных рядов программы MS EXCEL.
8.9 Дополнительная литература к главе 8.
Драчев О.И. Статистические методы управления качеством: учеб. пособие / О.И. Драчев, А.А. Жилин. — Старый Оскол: ТНТ, 2011. — 148 с.
Ефимов, В.В. Статистические методы в управлении качеством продукции / В.В. Ефимов, Т.В. Барт. — М.: КНОРУС, 2012. — 240 с.Дубров А. М., Многомерные статистические методы [Текст] — 2003. — 352 с. (Ост1973)
Клячкин В. Н., Статистические методы в управлении качеством: компьютерные технологии [Текст] — 2007. — 303 с.
Разумов В.А. Управление качеством: учеб. пособие / В.А. Разумов. — М.: Инфра-М, 2010. — 208 с. — (Высшее образование).
Аристов, О.В. Управление качеством : учебник для вузов / Олег Валентинович Аристов. — М. : Инфра-М, 2009. — 240 с. — (Высшее образование).
Миттаг Х.-Й. , Ринне Х. Статистические методы обеспечения качества: пер. с нем. — М.: Машиностроение, 1995. – 616 с.
Статистические контроль качества продукции на основе принципа распределения приоритетов / В.А. Лапидус, М.И. Розно, А.В. Глазунов и др. — М.: Финансы и статистика, 1991. — 244 с.
Управление качеством в машиностроении / А.Ф. Гумеров, А.Г. Схиртладзе, В.А. Гречишников [и др.]. — Старый Оскол: ТНТ, 2011. — 168 с.
Мазур И. И., Управление качеством [Текст] — 2005. — 400 с. (Успешный менеджмент)
Фарафонов В. Г., Ряды Фурье [Текст] — 2009. — 31 с.
Воробьева Л. В., Ряды [Текст] — 2009. — 43 с.
Машиностроение [Текст] — 2002. — 799 с.
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Источник