Мы провели мат анализ



Мы провели мат анализ

А можно ли вообще понять мат.анализ?

Разговорились со студентками на тему: «А можно ли вообще понять мат.анализ?»

Одна из моих коллег сказала им, что поняла мат.анализ только перед гос.экзаменами. Когда весь накопленный за пять лет багаж математических знаний, разные, но чем-то похожие дисциплины и междисциплинарные связи, а также диплом по близкой тематике, наконец уложились в голове в единую картину.

Другая из моих коллег сказала им, что мат.анализ поняла уже будучи преподавательницей, когда самой пришлось встать к доске и объяснять.

И, кстати, эти два подхода очень-очень распространены. Очень-очень. Так бывает часто. И не только с мат.анализом.

У меня история сложнее. В школьные годы я была олимпиадницей. Математические кружки, летние математические школы, очень сильная физико-математическая школа, спецкурсы. И да, я просто не помню те времена, когда я не понимала мат.анализ. Дело в том, что в мат.анализе не было ничего специфически необычного. Мат.анализ естественным образом в школьной программе возник в 9 классе, параллельно с фокальными свойствами коник, доказательством неравенства Коши индукцией вверх-вниз, распределением простых чисел в ассимптотике и началами теории вероятностей. Тут же подоспели и замечательные пределы, и начала дифференцирования-интегрирования.

И да, поскольку я была олимпиадницей, то возникновение в школьной программе мат.анализа не было для меня шоком. Идеи бесконечности в разных ее ипостасях витают в олимпиадных кружках класса практически сразу, класса с пятого-шестого (а сейчас и раньше — класса с первого; у нас на Малом матфаке обязательно с первоклашками изучают Ковер Серпинского )))). Индукция класса с седьмого. А от идеи бесконечности до всего остального мат.анализа на самом деле рукой подать.

И да, я, конечно, была олимпиадницей. Но у меня было больше половины класса обычных ребят — не олимпиадников. И для них тоже не было ничего специфически сложного именно в мат.анализе. Ты с одинаковым успехом мог забуксовать на задачах на движение, на инверсии или на пределах. Хотя больше всего непоняток было все-таки с физикой )))
И собственно того, чтобы кто-то боялся прицельно мат.анализа — этого не было, как ни странно.

Да, мы сейчас можем сказать, что в физ.мат.школе учились умненькие, отобранные, мотивированные ребята. Но на матфаке учатся тоже умненькие, отобранные, мотивированные ребята (по-крайней мере, разговариваю я только с такими). И у матфаковцев больше опыта, больше бэкграунд, но при этом лучшие студенты матфака (за исключением выпускников физ.мат.школ) хуже понимают мат.анализ, чем восьмиклассники. Алгебру, например, понимают не хуже. А мат.анализ хуже. Почему же так?

Я не могу утверждать наверняка. И вообще, это очень сложный вопрос. Но у меня закралась мысль, что вся проблема в чистоте и в строгости математического изложения. Когда деткам 10-12 лет начинают объяснять идею бесконечности, ее объясняют буквально на пальцах, не вдаваясь в идеи, и даже более того, часто опытные преподаватели подсказывают новичкам: «а этот вопрос замни для ясности, если его не объяснять, то школьникам понятнее, чем если начать объяснять строго».

Мне так папа подсказывал, когда я первый раз доказывала 6-клашкам теорему о платоновых телах. Говорит: «скажи так: три квадрата могут встретиться в одной вершине; три пятиугольника могут, три шестиугольника уже раскладываются в плоскость. А три семиугольника и вовсе не влезают! И все». Вот это вот крайне нестрогое с математической точки зрения, но крайне точное с бытовой «не влезают» — это так и есть. И так гораздо понятнее. чем если начать наводить тень на плетень.

И тут возникает совершенно неразрешимая дилемма. С одной стороны, на матфаке, безусловно, надо доказывать все крайне строго. По всем критериям строгости, применимым в современной науке. Но с другой стороны, как мне кажется, да простят меня коллеги, специализирующиеся на анализе, иногда, что называется, за деревьями лес не видно. Начинается такое строгое изложение, что за всеми эпсилон-дельтами и прочими проколотыми омега-окрестностями теряется суть того, что пытались донести.

В конце-концов, великие, которые начинали мат.анализ — Ньютон, Лейбниц, Тейлор, Гаусс и так далее — они иногда в работах такую чушь с современной точки зрения писали. Суммировали расходящиеся ряды, вычисляли несуществующие пределы, дифференцировали всюду разрывные функции. И тем не менее, они-то, возможно, лучше кого-либо когда-либо понимали мат.анализ.

Если начинать рассказывать теорию чисел с аксиоматики «обычной» арифметики, ее непротиворечивости и единственности — то собственно до теории чисел вообще никогда не доберешься, погрязнув в дебрях теории множеств и логики. И специалисты по теории чисел в этом конкретном моменте никогда не гонятся за строгостью, предпочитая понятность.
/* Хотя теорию чисел я, наверное, в пример зря привожу — вообще не сказать, что кристально понятный предмет. */
Тогда пусть среди примеров будет геометрия. Всех, начиная со школы, и даже более того — с детского сада, обучают евклидовой геометрии. А ее вообще в реальном мире нет! Но она зато всем интуитивно более понятная, чем настоящая геометрия реального мира.

Первое понятие, которое из математики изучает маленький ребенок — это единица. Ну, или одно из первых. А если мы попытаемся с математической точки зрения объяснить, что такое единица — мы можем посмотреть на опыт товарищей Бурбаки. У которых на объяснение числа 1 ушло 100 страниц.

Иногда лучше и правильнее будет преподавателю чуть-чуть скруглить острые углы, а не следовать всем изгибам сложных как норвежские фьорды линиям математики. Или нет?
Метки: ностальгическое, преподское

Источник

Как понять математический анализ?

У меня непростые отношения с матанализом: с одной стороны он демонстрирует всю красоту и мощь математики, а с другой — агонию математического образования.

Математический анализ связывает различные темы в элегантной, но довольно сложной для ума манере. Ближайшая аналогия, которая приходит мне на ум, — Дарвиновская теория эволюции: стоит ее понять, и весь мир видится с позиции выживания. Вы понимаете, почему лекарства привели к резистентным микробам (выживает наиболее приспособленный). Вы понимаете, почему сахар и жир сладкие на вкус (вкус стимулирует потребление высококалорийных продуктов в условиях дефицита резервов организма). И все эти моменты складываются в единую, логическую картину.

Матанализ таким же образом проливает свет на всю систему математики. Не кажется ли вам, что все эти формулы как-то связаны?

Так и есть. Но большинство из нас изучают эти формулы независимо друг от друга. Математический анализ позволяет начать с «длина окружности = 2 * π * r» и вывести остальные формулы для вычисления площади круга, сферы и даже объема шара — древним грекам очень бы пригодился подобный подход.

К сожалению, матанализ олицетворяет собой все трудности в изучении математики. Большинство уроков объясняются на натянутых, неправдоподобных примерах, заумных доказательствах и банальном заучивании, которое напрочь убивает интуицию.

Так действительно не должно происходить.

Математика, искусство и идеи

Кое-что я понял еще со школы: математика — не самая сложная часть математики; самое тяжелое — мотивация к ее освоению. Особенно, умение не терять энтузиазм, несмотря на:

• Преподавателей, больше сконцентрированных на штамповке публикаций и своей карьере, чем на преподавании
• Небеспочвенные опасения, что математика — это сложно, скучно, непопулярно или «не ваш предмет»
• Учебники и учебные планы, больше нацеленные на получение прибыли и хорошую статистику по тестированиям знаний, чем на пояснение сущности предмета.

«…если бы мне пришлось создавать механизм с единственной целью разрушить природное любопытство ребенка и его любовь к моделированию, вряд ли бы у меня получилось лучше, чем это уже реализовано — у меня бы просто не хватило фантазии, чтобы тягаться с такими бесчувственными, унылыми идеями, которые воплощены в современных методах изучения математики».

Представьте изучение изобразительного искусства так: Детки, никакого рисования в детском садике. Вместо этого, давайте-ка изучим химию лакокрасочных изделий, физику света и анатомию глаза. После 12 лет изучения этих аспектов, если дети (точнее уже подростки) всё еще не возненавидят искусство, они смогут начать рисовать самостоятельно. В конечном итоге, они теперь владеют полноценным фундаментом для того, чтобы начать уважать искусство. Верно?

Также и с поэзией. Представьте изучение этой цитаты (формулы):

«Но главное: будь верен сам себе; Тогда, как вслед за днем бывает ночь, Ты не изменишь и другим.» —Вильям Шекспир, Гамлет

Это элегантный способ сказать «будь собой» (и если это означает непочтительно писать о математике, пусть будет так). Но если бы мы рассматривали поэзию на уроке математики, вместо поиска смысла мы бы занялись подсчётом количества слогов, анализировали пятистопный ямб, разметкой существительных, глаголов и прилагательных.

Математика и поэзия — это как разные способы пояснить, охарактеризовать одно и то же. Формулы — это средства к достижению цели, способ выражения математической истины.

Мы забыли, что математика оперирует идеями, это не машинальное маниппулирование формулами, которые выражают эти идеи.

Ну это всё понятно, так в чем же твоя великая мысль?

Вот, что я не буду делать: я не буду пересказывать уже написанные учебники. Если вам нужны ответы здесь и сейчас, есть масса вебсайтов, видеоуроков и 20-минуток в помощь.

Вместо этого давайте освоим основные положения матанализа. Уравнений недостаточно — я хочу моментов озарения, чтобы вы действительно видели их смысл и понимали язык математики.

Формальный математический язык — это просто способ коммуникации. Графики, информативные анимированные модели и разговор простым языком могут дать больше знаний, чем целая страница заумных доказательств.

Но матанализ — это сложно!

Я думаю, что любой человек сможет понять основные положения матанализа. Нам не обязательно быть поэтами, чтобы наслаждаться произведениями Шекспира.

Вам будет гораздо проще, если вы знаете алгебру и интересуетесь математикой. Не так давно, чтение и письмо были работой специально обученных писцов. А сегодня это может сделать любой 10-летний ребенок. Почему?

Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в развитии возможностей. Так что ожидайте, что матанализ — это просто еще один предмет. Некоторые люди доходят до мельчайших подробностей (писатели/математики). Но остальные из нас могут просто восторгаться происходящим и попытаться его понять. Я бы хотел, чтобы каждый освоил основные понятия матанализа и сказал «Вот это да!».

Так о чем же матанализ?

Некоторые определяют матанализ как «область математики, которая изучает пределы, дифференцирование, интегрирование функций с одной или более переменных». Это определение верно, но оно совсем не полезно для новичков.

Вот мой ход: Матанализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.

• Арифметика — это манипуляция числами (сложение, умножение и т.д.).
• Алгебра находит связи между числами: a 2 + b 2 = c 2 — очень известная связь, описывающая соотношение сторон в прямоугольном треугольнике. Алгебра находит целые наборы чисел — если вы знаете a и b, вы можете вычислить и c.
• Матанализ находит связи между уравнениями: вы можете видеть, как одно уравнение (длина окружности = 2 * π * r) связано с другим (площадь круга = π * r 2 ).

Используя матанализ, мы можем спросить самые разные вопросы:

• Как уравнение растет и сокращается? Наращивается со временем?
• Когда оно достигнет самой высокой/низкой точки?
• Как мы используем переменные, которые постоянно меняются? (Тепло, движение, популяции, …).
• И многое, многое другое!

Алгебра и матанализ решают задачи вместе: матанализ находит новые уравнения, а алгебра их решает. Как эволюция, матанализ расширяет ваше понимание того, как работает матушка-природа.

Пример, пожалуйста

Представим, что мы знаем уравнение длины окружности (2 * π * r), и нам нужно найти площадь. С чего начнем?

Представьте, что заполненный диск круга — это как набор матрешек.

Тут есть два способа нарисовать этот диск:

• Нарисовать окружность и закрасить ее
• Нарисовать набор колец толстым маркером

Количество «пространства» (площадь) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? И сколько пространства занимает кольцо?

Самое большое кольцо имеет радиус «r», и длина окружности кольца вычисляется как 2 * π * r. По мере того, как кольца уменьшаются, окружность также становится меньше, но всё равно сохраняется соотношение 2 * π * текущий радиус. Последнее кольцо больше похоже на булавочную головку, и длину окружности уже не вычислишь.

А теперь начинается самое интересное. Давайте раскрутим эти кольца и выровняем их. Что произойдет?

• У нас получится набор линий, который составит зубчатый треугольник. Но если взять более тонкие кольца, то треугольник становится уже менее зубчатым (об этом мы еще поговорим в других статьях).
• С одной стороны будет самое маленькое кольцо (0), а с другой — самое большое (2* π * r)
• Кольца имеют радиусы от 0 до «r». Для каждого возможного радиуса из этого диапазона (от 0 до r), мы просто помещаем раскрученное кольцо на свое место.
• Общая площадь «кольцевого треугольника» = 1/2 основания * высоту = 1/2 * r *(2 * π * r) = π * r 2 , а это и есть формула поиска площади круга!

Ух ты! Общая площадь колец = площадь треугольника = площадь круга!

Это был простой пример, но вы уловили основную идею? Мы взяли диск, разделили его, и сложили части вместе немного другим путем. Матанализ показал, что диск и кольцо тесно связаны друг с другом: диск — это действительно набор колец. Это очень популярная тема в матанализе: Большие предметы состоят из более мелких предметов. И иногда именно с этими мелкими предметами работается проще и понятнее.

Немного о примерах

Множество примеров в матанализе основано на физике. Это, конечно, замечательно, но бывает сложно их воспринимать: честно, далеко не всегда удается держать в голове разные физические формулы вроде формулы скорости объекта.

Я предпочитаю начать с простых визуальных примеров, потому что именно так и работает наш мозг. Кольцо/круг, которое мы исследовали — вы бы могли смоделировать то же самое из нескольких отрезков трубок разного диаметра: разделить их, выровнять и уложить в грубый треугольник, чтобы убедиться, что математика действительно работает. С простой физической формулой такое вряд ли удастся провернуть.

Немного о математической строгости (для фанатиков этой науки)

Я чувствую, как математики-педанты жгут свои клавиатуры. Поэтому я вставлю всего несколько слов о «строгости». Знаете ли вы, что мы не учим матанализ способами, которыми его открыл Ньютон или Лейбниц? Они использовали интуитивные идеи «флюксии» и «бесконечно малых величин», которые были заменены пределами, потому что «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».

Мы создали сложные механические модели, чтобы «точно» доказать матанализ, но мы утратили интуитивное восприятие предмета в процессе таких доказательств.

Мы смотрим на сладость сахара с точки зрения химии мозга, вместо того, чтобы пояснять это языком науки «В сахаре много энергии. Ешьте его».

Я не хочу (и не могу) преподавать матанализ студентам или обучать ученых. Но будет ли плохо, если каждый сможет понимать матанализ на том «неточном» уровне, на котором его понимал Ньютон? Чтобы это также изменило мир для вас, как когда-то изменило для него?

Преждевременная концентрация на точности рассредоточивает учеников и делает математику сложной для изучения. Вот хороший пример: число е технически определено пределом, но открыто оно было именно с помощью интуитивной догадки о росте. Натуральный логарифм может выглядеть как интеграл, или время, которому нужно расти. Какие объяснения лучше помогут новичкам?

Давайте немного порисуем от руки, а в химию погрузимся уже по ходу дела. Приятных вычислений.

Источник

Как освоить мат анализ?

Уже 3й месяц изучаю мат анализ в ВУЗе, но успехи, увы, не большие.
Возможно проблема в том, что я не знаю где это примерить на практике и просто не могу понять самой сути, а просто зубрить — плохой вариант.
Например Архитектура ЭВМ нормально дается, а мат анализ — нет.

Подскажите норм ресурсы, чтобы можно было "познать в сравнении" или "понять на доходчивом примере"
Если что, есть люди которым можно задать конкретные вопросы по поводу мат анализа

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Подскажите,пожалуйста, какой-нибудь хороший курс по мат. анализу! Хочу понять мат.анализ!
Очень хочется найти какой-нибудь хороший онлайн-курс по мат.анализу, на котором бы преподаватель.

Мат анализ
Помогите решить задания, пожалуйста Правила, 5.18 Напечатайте задания здесь. И редактор формул.

Мат.анализ
Пожалуйста помогите решить задачи

Задачи на мат.анализ
Помогите решить пожалуйста.

= R/20 — L*k, где k коэфициент равен 0.03. Задча найти то M при котором R будет максимальным. Все — решаете.

Математический анализ, математика+анализ, т.е. вы проводите анализ чего либо применяя математический аппарат наработаный людьми за столетия развития мира.

Главное на парах не запоминать на память сам процесс анализа, а понять сами основы анализа, механизмы анализа. Т.е. школьник знает теорему Пифагора как основу уже может провести математический анализ опираясь на теорему проектируя, скажем, план своего дома.

Есть в сети отсакинированные тома математической энциклопедии, Вся высшая математика, вот загрузите себе на компьютер и работайте с информацией.

Математический анализ применялся при единоразовом проектировании программного каркаса ПО схемотехнического моделирования — Multisim, OrCad и т.п. Матаном в сочетании с теорией вероятности пользуются в социологии, в астрономии возможно.

Выразил свое мнение.

Сообщение было отмечено как решение

Решение

Читайте учебники: Ильин-Поздняк там или ещё что. Чем больше, тем лучше. В пришпиленной теме много всего. Энциклопедиями не злоупотребляйте: справочники — для справок.

Математический анализ не есть математика + анализ. Это историческое название части математики, работающая с "анализом бесконечно малых". В широком смысле к матанализу относится всё, имеющее отношение к дифференцированию и интегрированию функций — сюда попадает и теория пределов вместе с общей топологией, и дифуры (обыкновенные и УЧПы), и функциональный анализ — короче, много всего.

Матанализ появился как инструмент описания процессов. Не просто "во сколько выигрываем в силе, во столько проигрываем в расстоянии", а описать само разворачивание процесса во времени. Причём "процесс" можно понимать очень широко: например, можно говорить об определении формы нагруженной мембраны — здесь вроде во времени ничего не меняется, но можно говорить об изменении изгиба при переходе от одних точек к другим, соседним.

Ну и матанализ вполне успешно описывает процессы. В частности, законы природы обычно формулируются в виде дифференциальных уравнений. И разные математические модели также часто основываются на дифурах.

Источник

Мы провели мат анализ

September 2nd, 2018, 04:13 pm

И Рене Декарт, в работе «Правила для руководства ума», и Леонард Эйлер, в работе «Интегральное исчисление», обращали внимание своих читателей на то, что в математику приходят люди, которые пытаются свое недопонимние смысла этого предмета завуалировать создаваемыми ими некими воображаемыми объектами, которые невозможно осознанно идентифицировать с объектами действительного мира. Эти воображаемые объекты соединяются с объектами реального мира и на этом фундаменте производятся построения теоретической части матанализа.

Я в своем блоге подробно останавливался на анализе этих предупреждений. В этой статье я хочу акцентировать внимание на четырех моментах, которые размывают суть двух взаимообратных математических действий: дифференцирования и интегрирования.Причем вводится понятие «семейства функций» которое означает, на самом деле одну и ту же функцию с различными значениями одной из переменных которых, в этой функции, на одну больше, чем заявлено. Различные константы и есть значения этой переменной.

1. В основной теореме математического анализа заложена ошибка, которая привела к тому, что два алгоритма дифференцирования: по частному (∂x) и по полному (dx) дифференциалам имеют не два алгоритма соответствующих обратных действия интегрирования: по частному и по полному дифференциалу, а один: неопределенный интеграл, который противоречит результату практического опыта под названием «Бином Мишина» (подробнее в блоге).

Исходя из результата этого опыта, действий, обратных дифференцированию, с неуказанными пределами интегрирования, тоже должно быть два. По частному и по полному дифференциалу:

2. Рене Декарт, на основе двух методологических объектов: порядка и меры, показал различие в исследовании топологических и геометрических объектов как элементов множества и элементов непрерывности.

При изучении множеств точки используются для фиксации мысли на отдельном элементе множества. То есть, элементами меры множества являются точки с вложенными в них количественными характеристиками и их количество. Линии же используются, в этом случае, как элементы порядка и их длины (количественные показатели) не играют для исследования множеств никакой роли. Они используются только как разграничители между элементами различных множеств или как указатели локации элементов самого множества как, например, линии графиков функций. Длины отрезков на линиях этих графиков никак не связаны численно со значениями аргумента или функции, что доказывает их топологическое предназначение.

Декарт придумал плоскость в которой пары чисел, являющиеся значениями аргумента и функции, изображаются топологической точкой, в которой заложено численное значение производной. Подробное описание есть в моем блоге.

Линия, называемая графиком функции, к самой функции не имеет никакого отношения. Ее длина не является элементом меры. Эта воображаемая линия показывает порядок расположения топологических точек. Но у этой линии есть геометрический аналог, в котором длина есть элемент меры. Я показывал этот аналог в различных своих статьях, посвященных моим попыткам «достучаться» до МинОбрНауки и Академии наук РФ (в этой статье показано ниже в гиф-файле). Но, люди, кормящиеся математикой в этих учреждениях, похоже, не обладают интеллектуальными способностями к индивидуальному анализу. Они считают высшим достижением своего разума способность к пересказу учебников, написанных теми, о ком предупреждали Декарт и Эйлер.

В свое время было принято показывать физический и геометрический смысл (аналог) любого аналитического математического объекта.

В алгоритме математического действия дифференцирования, как и в любом другом математическом действии, присутствуют три аналитических объекта, имеющие свое порядковое место в алгоритме выполнения этого действия.

Например, в алгоритме действия: «вычитание» для соответствующих аналитических объектов используются однозначно трактуемые алгоритмические названия вычитания: уменьшаемое, вычитаемое, разность.

При делении: делимое, делитель, частное.

При дифференцировании: дифференцируемая функция, аргумент дифференцирования, производная.

При интегрировании: подынтегральная функция, аргумент интегрирования, первообразная.

Словом «производная» называют результат математического действия: «дифференцирования». Алгоритм этого действия определен как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при устремлении этого приращения к нулю. Этот результат, в общем виде, является функцией, как и исходный алгоритмический объект: «дифференцируемая функция».

У топологических точек нет окрестностей. В окрестности топологической точки лежат другие топологические точки, являющиеся элементами рассматриваемого множества.

Я в «биноме Мишина» показал, множителем каких именно аналитических объектов являются соответствующие значения производной на примере степенной функции (смотреть в соответствующих статьях моего блога).

3. Читаем Википедию дальше:

Функция — это математический объект, значения которого зависят от значений другого математического объекта: аргумента. Эта зависимость может быть дискретной, аналоговой, либо смешанной.

В официальной современной версии матанализа позиционируются три способа задания функции: аналитический (формулой), табличный или геометрический.

Декартова плоскость служит для топологической визуализации табличного способа задания функции, в котором пары значений функции и аргумента изображаются топологической точкой с соотетствующими, этим значениям, координатами. Каждая такая топологическая точка содержит в себе значение производной при соответствующем значении аргумента.

Чтобы уяснить логическую связь аналитического объекта с соответствущими ему геометрическим и топологическим объектами, я привел пример функции y=x 2 . Для просмотра кликнуть на слово «пример»:

Зависимость не имеет изменений и скорости. Воображаемая линия на Декартовой плоскости, составленная из топологических точек, визуализирующая множесто пар чисел не имет никакого отношения к функции, график которой изображается и не является тректорией движения математической точки. Это — иллюзия. Эта линия является элементом порядка расположения точек в соответствии с подстановкой: «значения переменной — количество единичных отрезков на числовой оси».

Математически скорость — есть функция двух аргументов: пути и времени. То есть, это отношение двух переменных, причем независимых переменных. Действие дифференцирования — это тоже отношение. Но, по определению, это предел отношения зависимых пременных: дифференцируемой фунции и аргумента дифференцирования. Да, дифференцировать можно произведение параметра и аргумента по этому же аргументу. Тогда производная будет равна исходному параметру. Но это частный случай дифференцирования и его методологически неверно давать при объяснении общего вида отыскания производной.

Топологическая линия графика делит площадь прямоугольника на две интегральные площади в соответствии с формулой интегрирования по частям. Эти две интегральные площади имеют геометрический аналог в стереометрии в соответствии с выражением: x*x 2 =x 3 =1/3x 3 +2/3x 3 .

Я показал этот аналог ребятам из минорбрнауки и академии наук. Но их интеллектуального потенциала не хватило на «переваривание» такого объема информации, отсутствующей в книжках под названием: «учебники».

Это значение — есть число, так как рассматриваемая функция числовая. Значит, рассматривается одно значение функции, являющейся результатом дифференцирования. То есть, численное значение производной при одном произвольном значении аргумента.

В то же время, для нашего примера рассматриваемой функции, отношение приращения функции к приращению аргумента есть сумма: x₂ 2 — x₁ 2 /x₂ — x₁ = x₂ + x₁.

Если в результате примененной подстановки приращение функции визуализировано длиной вертикального отрезка, а приращение аргумента — горизонтальным, то результат их отношения будет равен сумме двух отрезков: x₂ + x₁.

Точки на линии графика с соответствующими абсциссами: x₂ и x₁ можно соединить геометрическим отрезком, а отрезок продлить и назвать секущей. Так как эта геометрическая линия будет иметь с топологической линией графика две общие точки.

То есть топологический мерный объект, равный значению производной при заданном значении аргумента, визуализированный топологической точкой, предлагается совместить с геометрическим объектом порядка (две точки фиксируют расположение геометрической линии).

Это совмещение визуальное, не имеющее математической функциональности потому, что элемент меры не является элементом порядка, и наоборот. На основании этого совмещения и на основании совмещения двух точек графика в одну точку, названную точкой касания, результатом совмещения будет являться появление вместо двух различных отрезков (x₂ + x₁) два одинаковых (x+x=2x):

Это есть мысленная интерпретация получения производной в соответствии с аналитическим алгоритмом дифференцирования. Но здесь нет «касательной» и угла наклона ее к оси аргументов. Эту линию можно легко получить даже без начертания линии графика. Для этого достаточно определить аргумент точки будущего «касания» и задать произвольное значение приращения аргумента.

По формуле производной, подставляя значение аргумента, вычисляется значение топологической точки графика. Из этой точки чертится горизонтальный отрезок, равный приращению аргумента. Из второго конца этого отрезка чертится вертикальный отрезок вверх длиной, равной произведению вычисленного значения производной в будущей точке «касания» на приращение аргумента, и верхний конец этого отрезка и будет второй точкой для начертания линии, котороую можно, с полной уверенностью, называть касательной потому, что эта линия будет иметь с линией графика одну общую точку в некотором пространственном приближении. Эта линия даст некий угол с осью аргументов, а отношение построенных вертикального и горизонтального отрезков можно с полной увереннностю назвать тангенсом полученного угла. Таким образом получается одно и то же число, названное двумя различными алгоритмами его «вычисления».

Первый алгоритм: подстановка в формулу производной соответствующего значения аргумента, выбранного произвольно.
Второй алгоритм: получение, с помощью этого числа двух отрезков, отношение которых даст это же самое исходное число.

Только есть один нюанс: производная — это результат дифференцирования, а тангенс — это функция угла. Равенство двух чисел не дает основания считать функцию тангенса геометрическим смыслом результата дифференцирования.

Источник

Примеры задач по математическому анализу

В данном разделе размещены типовые примеры задач по математическому анализу с подробным решением.

Каталог решений онлайн

• Исследование функции (13 задач)
• Непрерывность, точки разрыва (3 задачи)
• Пределы (8 задач)
• Производные и приложения, частные производные (8 задач)
• Дифференциальные уравнения (18 задач)
• Дифференциальные уравнения в частных производных (12 задач)
• Разностные уравнения (4 задачи)
• Интегралы (неопределенные, определенные, несобственные) (12 задач)
• Применение интегралов к вычислению длин, площадей, объемов (10 задач)
• Двойные интегралы (20 задач)
• Тройные интегралы (13 задач)
• Криволинейные интегралы (16 задач)
• Поверхностные интегралы (6 задач)
• Ряды, исследование сходимости и применение (9 задач)
• Ряды и интегралы Фурье (6 задач)
• Комплексные числа (12 задач)
• Теория функций комплексной переменной (13 задач)
• Операционное исчисление (17 задач)
• Функции нескольких переменных (29 задач)
• Теория поля (15 задач)
• Функциональный анализ (7 задач)
• Интегральные уравнения (10 задач) (9 задач)

Изучаем математический анализ

• Отправить заявку
• Услуги и предметы
• Онлайн-помощь
• Сдача тестов
• Отзывы клиентов
• Цены и оплата
• О заказе и гарантиях
• Оформление работ
• Вопросы и ответы

• Примеры решений задач
• Онлайн решение задач
• Программы-решатели
• Учебники и видеоуроки
• Статьи о математике
• Полезные сайты
• Формулы и справочники

• Онлайн учебник
• Примеры решений
• Онлайн калькуляторы
• Формулы и таблицы
• Статьи по ТВ
• Учебники и ссылки

МатБюро помогает студентам с 2006 года. Всё это время мы поддерживаем прекрасную репутацию и наилучшие условия «цена-качество».

Мы предлагаем:
Грамотную и подробную консультацию и решение за разумную стоимость.

• Количество Более 65000
  выполненных
  заказов
• Цены Разумные и
  обоснованные
  цены
• Опыт Помогаем студентам
  в решении задач
  уже 15 лет
• Кредо Качество,
  ответственность
  и уважение
• И еще Мы рады
  выполнить
  ваш заказ

• Написать в WhatsApp
• © 2006-2021

Источник