Анализ точности обработки деталей

Привет студент

На тему: «Анализ надежности и точности технологического процесса механической обработки статистическим методом».

АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ И ТОЧНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ.

Цель работы: овладение практическими навыками анализа точности технологических процессов механической обработки деталей в условиях крупносерийного производства с использованием методов математической статистики.

Задачи работы:

-определение статистических характеристик точности технологического процесса;

— определение количества вероятного брака;

1. Статистический анализ точности технологического процесса механической обработки.

При обработке деталей на станках их размеры колеблются в определенных пределах, отличаясь друг от друга и от контролируемого размера на величину случайной погрешности. В результате этого образуется рассеяние размеров деталей, обработанных при одинаковых условиях. Для изучения и анализа закономерностей распределения размеров деталей при их рассеянии применяют методы математической статистики, в основе которых лежит использование выборочной совокупности или выборки.

Выборочной совокупностью называется часть деталей, которые отбираются из генеральной совокупности (общей партии) для получения достоверных сведений о всей генеральной совокупности. Генеральной называется совокупность всех возможных деталей, изготовляемых на данной операции и объединенных каким-либо признаком, который отражает интересующий технолога контролируемый параметр.

Причем, выборка должна быть представительной (репрезентативной), чтобы результаты выборки можно было использовать для анализа точности технологических процессов в условиях массового производства.

Число деталей n в выборке составляет ее объем. Большой выборочной совокупностью считается выборка при n>30, а малой n<30. От объема выборки зависит точность результата. Обычно в производственных условиях объем больших выборок, которые используются для анализа технологических процессов, составляет 50-200 штук деталей.

1.2. Построение эмпирической кривой распределения.

В табл.1 приведены результаты измерений наружного диаметра партии (выборки) деталей после токарной обработки, значения которого носят случайный характер D_i. При этом, детали считаются пригодными, если их размеры укладываются в интервал 100÷100,5 мм.

Источник



Точность обработки

Качество обработки деталей машин определяется двумя критериями: точностью обработки и шероховатостью обработанных поверхностей.

Под точностью обработки понимают степень соответствия изготовленной детали заданным размерам и форме. В большинстве случаев форма деталей определяется комбинацией известных геометрических тел: цилиндрических, конических, плоскостей и т. д. Можно установить следующие основные критерии соответствия детали заданным требованиям:

• точность формы, т. е. степень соответствия отдельных поверхностей детали тем геометрическим телам, с которыми они отождествляются;
• точность размеров поверхностей детали;
• точность взаимного расположения поверхностей

Отклонения формы и расположения поверхностей

Отклонение формы реальной поверхности от номинальной, т. е. заданной чертежом, оценивается наибольшим расстоянием D между точками реальной поверхности и номинальной, измеренным по нормали к последней. Отклонения формы и расположения поверхностей регламентируются ГОСТом. Наиболее часто встречающиеся из них:

Отклонения от плоскостности:

• Выпуклость — отклонение от прямолинейности, при котором удаление всех точек реального профиля от прилегающей прямой уменьшается от края к середине (рис. 1, а, в);
• Вогнутость — отклонение от прямолинейности, при котором удаление всех точек реального профиля от прилегающей прямой увеличивается от края к середине (рис. 1,б,г).

Отклонения от круглости:

• Овальность — отклонение от круглости при котором реальный профиль представляет собой овалообразную фигуру, наибольший и наименьший диаметры которой находятся во взаимно перпендикулярных направлениях (рис.1, д);
• Огранка — отклонение от круглости при котором реальный профиль представляет собой многогранную фигуру (рис.1,е).

Рисунок 1. Определение величины отклонения формы

Отклонения профиля продольного сечения — характеризуются непрямолинейностью и непараллельностью образующих:

• Конусообразность – отклонение профиля, при котором образующие прямолинейны, но не параллельны (рис. 2,а);
• Бочкообразность — отклонение профиля, при котором образующие непрямолинейны, а диаметры увеличиваются от краёв к середине сечения (рис. 2,б);
• Седлообразность — отклонение профиля, при котором образующие непрямолинейны, а диаметры уменьшаются от краёв к середине сечения (рис. 2,в).

Рисунок 2. Отклонения профиля продольного сечения

Рисунок 3. Отклонения расположения

Отклонения расположения характеризуется отклонением реального расположения поверхностей (осей) от их номинального расположения:

• Торцовое биение – разность D наибольшего и наименьшего расстояний от точек реальной торцовой поверхности, до плоскости, перпендикулярной базовой оси вращения (рис. 3,а);
• Радиальное биение – разность наибольшего и наименьшего расстояний от точек реальной поверхности до базовой оси вращения в сечении, перпендикулярном этой оси;
• Неперпендикулярность осей или оси и плоскости – расстояние D (Рис. 3,в) между осями или осью и плоскостью на заданной длине; Например: =0,025 мм на 100 мм длины.
• Непараллельность оси вращения и плоскости – разность А-В наибольшего и наименьшего расстояний между осью и прилегающей плоскостью на заданной длине (Рис. 3,г);
• Несоосность – наибольшее расстояние D (Рис. 3,е) между осью рассматриваемой поверхности и осью базовой поверхности на всей длине рассматриваемой поверхности или расстояние между этими осями в заданном сечении.

Факторы, определяющие точность обработки

Погрешность обработки — Отклонение параметров реальных поверхностей детали от заданных на чертеже ещё называется погрешностью. В результате несоответствия действительных движений заготовки и инструмента движениям, предусмотренным кинематической схемой станка, возникает погрешность обработки.

В состав погрешности обработки входят:

• погрешность работы станка, возникающая вследствие неточности кинематической схемы станка и его отдельных узлов;
• погрешность настройки, возникающая от неправильности взаимного расположения инструмента и заготовки, а также от неточности регулировки упоров и остановов.

Погрешность настройки складывается из:

• неточности настройки режущего инструмента;
• износа режущего инструмента;
• упругих деформаций технологической системы станок—приспособление—инструмент—деталь (СПИД);
• температурных деформаций узлов станка, обрабатываемой заготовки и режущего инструмента.

Точность настройки станка и режущего инструмента

При смещении резца на размер а вверх-вниз относительно оси станка (рис. 4) диаметр D заготовки увеличивается.

Биение вращающихся центров станка приводит к биению обрабатываемых поверхностей заготовки относительно оси центральных отверстий. При перестановке обработанной заготовки на другой станок с другим биением центров может возникнуть отклонение от соосности у заготовок, обрабатываемых в разных условиях.

Жёсткость технологической системы

Жёсткостью технологической системы называют отношение радиальной силы резания Py, направленной перпендикулярно обрабатываемой поверхности, к смещению y режущей кромки инструмента относительно обрабатываемой поверхности заготовки в том же направлении:

Под влиянием силы резания возникает упругая деформация элементов технологической системы СПИД (изгиб и сжатие резца, изгиб заготовки и т.п.). Если бы под действием сил резания заготовка и инструмент не деформировались, то обработанная поверхность имела бы форму цилиндра диаметром d (рис.5).

Однако, в результате упругих деформаций резца и заготовки диаметр обработанной поверхности будет отличаться от заданного на величину погрешности — . Эта погрешность тем больше, чем больше величины сил , чем больше вылет резца. В различных точках обрабатываемой поверхности жёсткость технологической системы различна. Например, при консольном закреплении в 3-х кулачковом патроне жёсткость детали будет уменьшаться по мере удаления от патрона. Следовательно, при обработке с продольной подачей стрелка прогиба детали от действия сил резания будет изменяться по длине обработанной поверхности, и мы получим погрешность формы детали — конус вместо цилиндра (см. рис. 6).

Деформации режущего инструмента, зависящие от величины его вылета из резцедержателя, особенно сказываются при растачивании глубоких отверстий (рис. 8).

Повышение жёсткости технологической системы — непременное условие применения высокопроизводительных режимов резания и повышения точности обработки.

Влияние на точность обработки температуры и других факторов

В процессе резания звенья технологической системы нагреваются, что приводит к возникновению температурных погрешностей. Так, вследствие нагрева инструмента удлиняется его режущая часть, что приводит к возникновению погрешности формы и размеров при обработке длинных поверхностей.

Выделение тепла при резании приводит к нагреву обрабатываемой заготовки, причём — чем длиннее заготовка, тем неравномернее она нагревается. Следовательно, изменяется её форма и размеры, что вносит дополнительную погрешность обработки.

Температура нагрева обрабатываемой заготовки зависит от количества теплоты, поступающей в заготовку, которая в свою очередь зависит от массы заготовки, теплоёмкости её материала, режима резания. Чем больше масса заготовки, тем меньше она подвержена температурным деформациям.

При работе станка выделяется теплота из-за трения в узлах и подшипниках, вследствие чего нагреваются детали станка и его механизмы. У токарно-винторезного станка главным образом нагревается передняя бабка. Задняя бабка, суппорт и станина нагреваются незначительно. Ввиду больших масс частей станка происходят медленные температурные деформации, которые незначительно влияют на точность обработки.

Большое влияние на точность обработки оказывает размерный износ режущего инструмента в направлении нормали к обрабатываемой поверхности. Величина износа зависит от пути, пройденного резцом за период его стойкости, т.е. пути резания:
[м], где скорость резания, м/мин.

Характеристикой интенсивности размерного износа является относительный износ (мкм), т.е. размерный износ приходящийся на 1000 м пути резания:

Относительный износ имеет сложную зависимость от скорости резания (см. рис. 9). В зоне низких скоростей (50 м/мин) он довольно велик; при возрастании скорости резания он уменьшается, достигая минимума при оптимальном значении . Дальнейшее возрастание скорости резания приводит к увеличению относительного износа.

Зависимость скорости изнашивания от времени работы инструмента имеет следующий вид (см. рис. 10). В начале работы резец изнашивается значительно интенсивнее. Начальный износ можно учесть, прибавляя к пути резания длину .

Источник

Статистический анализ точности обработки

Точностью процесса изготовления следует называть степень соответствия результатов процесса (размеры деталей, их твердость и т.п.) заданным показателям качества.

Статистическим методом изучения анализа точности называются приемы изучения суммарной погрешности процесса с помощью мгновенных или текущих выборок. При этом не только выявляется технологическая точность и устойчивость, но вскрываются главные причины неполадок в процессе для их устранения.

При работе на настроенном оборудовании точность обработки оценивается посредством сравнения суммарной погрешности обработки партии деталей, изготовленных с одной настройки оборудования, с установленным допуском на размер. Статистическое изучение точности обработки сводится к выявлению фактического поля рассеивания суммарной погрешности обработки в партии и сопоставлению его с полем допуска на размер. Если поле рассеивания размеров партии равно или меньше поля допуска на размер, то точность данной операции признается удовлетворительной. Если же поле рассеивания размеров оказывается больше поля допуска, то точность операции считается недостаточной. При такой точности неизбежен брак.

Статистический анализ точности проводится методом больших выборок. Со станка, пресса или определенной позиции роторной линии берется выборка объемом n=100-150 шт. Вычисляются статистические характеристики выборки: — среднее арифметическое значение и — среднее квадратическое отклонение, которые затем принимаются в качестве оценок параметров и распределения генеральной совокупности, из которой взята выборка. Определяется закон распределения, вычисляются критерии точности технологического процесса. Для оценки точности процесса сравнивается полученная суммарная погрешность , которая в случае нормального распределения равна 6, с допуском на размер детали.

Точность считается достаточной, если коэффициент точности к=1, при к> 1 точность недостаточная. Однако на практике возможен брак даже и при к< 1, если настройка оборудования была выполнена с погрешностью, величина которой превышала допустимое значение. Обозначим через координату середины поля допуска относительно номинального значения размера, величина которой определяется по формуле

где ВО и НО — верхнее и нижнее предельные отклонения размера по чертежу с учетом знаков.

Среднее значение действительных отклонений измеряемого размера от его номинала обозначим через . Величину смещения от обозначим через Е. Тогда

Е=

На рис.1 показаны два крайних положения кривой нормального распределения в поле допуска, когда смещение от координаты середины поля допуска находится в пределах допустимых значений (рис. 1а) и два других крайних положения кривой нормального распределения, когда смещению относительно превышает допустимое значение (рис.1 б). В результате этого возникает брак, т.е. часть деталей или !! будет иметь отклонения размеров, выходящие за пределы допуска. Из рисунка видно, что допускаемая погрешность настройки инструмента на размер равна

Источник

Исследование точности обработки деталей

Изучение погрешностей возникающих в процессах изготовления деталей. Освоение методики оценки точности технологических операций с помощью математической статистики. Выявление мероприятий, направленных на повышение точности технологических операций.

Общие положения

В технологии машиностроения принято различать следующие виды погрешностей обработки, различающихся по характеру их воздействия на технологическую систему:

а) систематические постоянные погрешности вызываемые, например, неточностью настройки режущего инструмента;

б) систематические погрешности, закономерно изменяющиеся по течению технологического процесса, вызываемые, например, размерным износом режущего инструмента;

в) случайные погрешности, которые, появившись при обработке одной заготовки, необязательно появляются при обработке других заготовок, а их значения для различных заготовок изменяются в определённых пределах от максимального до минимального. Предсказать момент появления и величину этих погрешностей возможно только с определенной вероятностью.

Систематические погрешности обработки изучаются с помощью теоретических или экспериментальных исследований закономерностей, которым они подчиняются. Случайные погрешности изучаются с применением теории вероятностей и математической статистики.

Точность и стабильность технологических процессов оценивается на стадии технологической подготовки и в установившемся производстве Оценка производится для выявления факторов, оказывающих решающее влияние на величину погрешностей обработки, для определения фактических точностных характеристик технологических операций. Результаты оценки используются при разработке мероприятий обеспечивающих точность изготовления продукции.

Оценка точности должна производится по параметрам детали, оказывающим решающее виляние на функциональные показатели изделия. Обычно оценка состоит из следующих этапов: измерение контролируемых параметров деталей; заполнение протоколов измерений; статистическая обработка результатов измерений; анализ результатов статистической обработки.

Для исследований точности механической обработки используются следующие основные методы: расчетно-аналитический; вероятностно — статистический и расчетно-статистический.

Расчетно-аналитическая модель предполагает полную детерминированность процесса, для которого точно известны как начальные условия, так и влияние сопутствующих факторов. Путем решения систем уравнений, описывающих закономерности образования погрешностей технологического процесса, однозначно определяется искомая точность. Однако реальные процессы не всегда правильно отображаются детерминированными моделями и правомерность их применения в таких случаях, зависит от детальности изучения исследуемого процесса. Математическое описание процессов в этом случае заключается в последовательном определении начальных (исходных) погрешностей заготовки; далее устанавливается в аналитическом виде их влияние на окончательную точность.

Вероятностно-статистическая модель применяется при изготовлении достаточно больших партий деталей. Она позволяет без раскрытия физической сущности явлений решать ряд задач по оценке и исследованию точности.

Расчетно-статистические модели сочетают положительные стороны обоих, вышерассмотренных методов. Они пригодны для различных условий производства и являются весьма гибкими, так как позволяют рассчитывать первичные и суммарные погрешности, оценивая их отдельные составляющие статистическим или расчетным путем. При недостатке данных модель носит в большей мере вероятностно-статистический характер. В то же время, применяя детерминированный подход, можно определить поле рассеивания случайных погрешностей и отдельные погрешности расчетно-аналитическим методом.

К статистическим методам относятся исследования с использованием кривых распределения погрешностей и графоаналитический метод (точечных диаграмм).

Центральная теорема теории вероятностей Ляпунова дает обоснование тому факту, что при устойчивом процессе обработки деталей на настроенных станках и при отсутствии изменяющихся во времени систематических погрешностей действительные размеры деталей подчиняются закону нормального распределения, так как результирующая погрешность обработки представляет собой сумму большого числа независимых погрешностей.

Этот метод оценки точности применяется в условиях производства большого количества деталей. Для его применения необходимо произвести выборку деталей на исследуемой операции. Количество деталей в выборке n влияет на точность оценки и определяется по специальной методике. По результатам измерения деталей выборки строится опытная кривая распределения, к которой по критерию согласия подбирается теоретический закон распределения.

Опытные кривые распределения строят следующим образом. Определяется диапазон изменения контролируемого параметра – поле рассеяния.

где xmax — максимальное значение контролируемого параметра;

xmin — минимальное значение контролируемого параметра.

На оси абсцисс откладывают величину поля рассеяния и разбивают его на несколько интервалов. Число интервалов k = 8-10. На оси ординат откладывают количество деталей, попавших в эти интервалы, или частости, mi. Соединяя образовавшиеся точки, получают ломаную линию, которая называется опытной кривой распределения или полигоном распределения деталей по размерам, рис. 1.1.

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины, подчиняющейся закону нормального распределения, имеет следующий вид:

где х — переменная случайная величина;

s — стандартное отклонение случайной величины;

— среднее значение (центр группирования) величины x;

е — основание натуральных логарифмов.

Рис. 1.1. Опытная кривая распределения или полигон распределения

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде симметричной кривой – кривой Гаусса (рис. 1.2).

Стандартное отклонение случайной величины s является мерой рассеяния случайной величины и определяется

где xi – координата соответствующей середины интервала;

Симметричность кривой относительно ординаты точки свидетельствует о том, что равновероятны одинаковые положительные и отрицательные отклонения от центра группирования. С изменением s изменяется форма кривой. При его уменьшении кривая становится более вытянутой и узкой, с увеличением s максимальная ордината кривой уменьшается, а ширина увеличивается. Изменение центра группирования приводит к смещению кривой (рис. 1.3).

Интегральный закон нормального распределения выражается в o6щем виде так

Рис. 1.2. Дифференциальная функция нормального распределения

Рис. 1.3. Влияние параметров кривой Гаусса на ее форму и положение

Величина F(x) определяет вероятность попадания случайной величины в интервал x₁ > x < x₂. Если случайная величина х следует нормальному закону, то достоверно, что она может принимать любые численные значения в пределах ± ∞, то есть вероятность попадания случайной величины в интервал −∞> x <+∞ равна единице.

Для облегчения вычислений формулу интегрального закона нормального распределения с помощью нормирующего множителя t =х/¨ можно привести к виду

Интеграл называют нормированной функцией Лапласа и его значения для различных t приводят в таблицах значений функции Лапласа. При использовании этих таблиц решение задачи по определению вероятности того, что случайная величина х находится в пределах x₁-х₂, сводится к нахождению разности между двумя значениями функции Лапласа:

Для практических применений зона рассеяния случайной величины х, подчиняющейся закону нормального распределения, ограничивают пределами ± 3¨ и составляет 6¨. При этом t₁= -3 и t₂ = 3.

Следовательно, P[-3¨ < x < +3¨)] = Ф(3) – Ф(-3) =2Ф(3).По таблицам функции Лапласа, 2Ф(3)= 0,9973. Это означает, что вероятность нахождения случайной величины вне указанного интервала q = 1-0,9973 = 0,0027, то есть очень мала.

Распределение случайной величины по нормальному закону является следствием действия многих факторов, носящих случайный характер, имеющих примерно одинаковую степень активности и независящих или слабо зависящих один от другого. Такой комплекс условий не всегда оказывается полным. Его нарушение приводит к отклонению закона распределения от нормального.

Одной из форм таких отклонений может быть несимметричность кривой рассеяния (рис. 1.4), характеризуемая коэффициентом асимметрии a, учитывающим смещение центра группирования относительно середины поля рассеяния ¨_x:

Практическое значение в технологии машиностроения имеют также закон равной вероятности и закон Симпсона.

Рис. 1.4. Несимметричное распределение случайной величины

Распределение по закону равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеяние, действует доминирующий систематический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования . Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рис. 1.5).

Дифференциальный закон распределения или плотность вероятности

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны

К распределению по закону Симпсона приводит сложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятности при одинаковых параметрах рассеяния. Кривая рассеяния имеет вид равностороннего треугольника (рис. 1.6), из-за чего закон Симпсона часто называют законом треугольника.

Рис. 1.5. Распределение случайной величины по закону равной вероятности

При выборе в качестве начала отсчета случайной величины ее центр группирования характеристики распределения имеют следующий вид:

Наличие характеристик распределения позволяет произвести оценку точности технологической операции. Расположение кривой распределения внутри поля допуска на изготовление детали свидетельствует о приемлемой точности (рис. 1.7).

Необходимое условие обеспечения требуемой точности

Данное условие не является достаточным, поскольку центр группирования может быть смещен под действием постоянных систематических факторов (рис. 1.8). При этом, несмотря на то, что ширина кривой меньше допуска, вероятно получение деталей за пределами допуска.

Достаточное условие обеспечения требуемой точности технологической операции определяется соотношением фактического смещения s и максимально возможным смещением центра группирования относительно середины поля допуска smax, при которой кривая распределения не выходит за пределы допуска. Граничное положение кривой показано на рис. 1.8 штриховой линией.

Рис. 1.7. Взаимное расположение кривой распределения и поля допуска

при достаточной точности технологической операции

Таким образом, для обеспечения точности технологической операции необходимо и достаточно чтобы выполнялись два условия (1.12) и (1.13).

Выполнение условия (1.12) свидетельствует о приемлемом уровне действия случайных факторов, а выполнение условия (1.13) – о допустимом уровне действия постоянных систематических факторов.

Использование кривых распределения позволяет оценить точность технологической операции не только на качественном уровне, но и дает возможность количественной оценки. Площадь дифференциальной кривой нормального распределения, не вошедшая в поле допуска, равна вероятности получения размера в диапазоне , то есть определяет возможный процент брака (рис. 1.9).

Вероятность получения брака на основании формулы 1.6

где — определяет площадь под левой частью кривой, вошедшей в поле допуска;

Источник

Показатели и методика статистического исследования точности технологических операций

Цель работы – на основе статистического анализа контролируемого параметра партии деталей оценить точность технологической операции технологического процесса токарной обработки.

Краткие теоретические сведения

Показатели и методика статистического исследования точности технологических операций

Точность технологических процессов изготовления определяется точностью обработки деталей на отдельных технологических операциях. Достижимая точность изготовления деталей (степень соответствия чертежам и заданным техническим условиям) зависит от целого ряда производственных погрешностей. Оценка точности технологических процессов проводится для выявления факторов, приводящих к появлению дефектов изготовления или оказывающих решающее влияние на величину случайных и систематических погрешностей обработки, для определения фактических точностных характеристик технологических операций обусловленных состоянием оборудования, качеством инструмента, заготовок и другими особенностями конкретных технологических операций в опре­деленный период времени.

Оценка точности должна проводиться по параметрам детали, оказывающим решающее влияние на функциональные показатели изделия в целом и лимитирующим нормальный ход технологических процессов.

Основными характеристиками точности технологических операций являются:

— величины случайных и систематических погрешностей контролируемых параметров;

— функции изменения случайных и систематических погрешностей;

— зависимости между погрешностями изготовления контролируемых параметров.

Оценка точности технологических процессов должна включать следующие этапы:

— измерение контролируемых параметров деталей, заполнение протоколов измерений;

— статистическую обработку результатов измерений;

— анализ результатов статистической обработки.

Наиболее трудоемким является второй этап этой работы. Статистический анализ точности осуществляется с помощью законов распределения производственных погрешностей исследуемых технологических операций и, в свою очередь, распадается на несколько этапов.

На первом этапе по экспериментальным данным, полученным при проведении исследуемой технологической операции, строится эмпирическая (опытная) кривая плотности вероятности распределения производственных погрешностей и определяются числовые характеристики этого распределения.

На втором этапе для установления вида закона распределения построенной эмпирической кривой плотности вероятности по качественным признакам подбирают подходящее теоретическое распределение. Замена полученной эмпирической кривой теоретически позволяет перенести на опытное распределение все свойства хорошо изученных теоретических законов и облегчить работу по анализу точности.

На третьем этапе проводится проверка выдвинутой гипотезы о соответствии эмпирического распределения выбранному теоретическому. Для проверки используются статистические критерии согласия. Если выдвинутая гипотеза подтверждается, то эмпирическое распределение заменяется теоретическим: если не подтверждается, то для аппроксимации эмпирической кривой подбирается теоретическая кривая другого закона распределения.

На завершающем этапе по построенной кривой плотности вероятности и ее числовым характеристикам оценивается точность исследуемой технологической операции.

2.2. Математическая обработка статистических результатов исследования точности технологических процессов

Погрешности обработки деталей, вызываемые различными производственно-технологическими факторами, яв­ляются величинами случайными, что обуславливает необходимость приме­нения в анализе точности методов теории вероятностей и математической статистики.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять тo или иное значение [1]. Например, признак качества Х для партии деталей объемом n, изготовленной в одной технологической операции, есть величина случайная, так как каждая деталь будет характеризоваться своим значением признака качества

Основной теоретической числовой характеристикой случайной величины является вероятность ее появления P, которая позволяет принимать любое значение от 0 до 1 включительно

Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины. Для полного описания случайной величины необходимо точно определить, какой вероятностью обладает каждое из значений, т.е. установить закон распределения случайной величины.

Одной из форм закона распределения является функция распределения F(x) случайной величины x, которую иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения (рис. 1).

Рис. 1. График интегральной функции
распределения вероятности

С помощью графика можно определить вероятность того, что случайная величина xне превысит некоторого значения x_i т.е.

Функция распределения характеризуется следующими свойствами: F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. приx₂>x₁, на минус бесконечности функция распределения равна нулю на плюс бесконечности функция распределения равна единице

Другой формой закона распределения случайной величины является плотность распределения (плотность вероятности)f(x), которая представляет собой производную от функции распределения

Плотность вероятности характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.

Рис. 2. График плотности распределения
вероятности

Плотность вероятности характеризуется следующими свойствами:плотность вероятности есть неотрицательная функция т.е. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; интеграл в бесконечных пределах от плотности равен единице т.е. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

С помощью кривой распределения находится вероятность попадания случайной величины в заданные пределы. Например, вероятность попадания x на отрезок от до равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис.2, заштрихованная область), т.е.

Учитывая соотношение (2.1), вероятность попадания x в заданные пределыот до , определяется также разность величин функции распределения, взятых при значениях пределов, т.е.

Из выражения (2.2) следует, что вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке (см. рис. 1).

Кроме законов распределения для описания случайных величин используются числовые параметры, позволяющие в сжатой форме выразить существенные особенности распределения.

В теории вероятности и математической статистике применяется большое количество различных числовых параметров. Рассмотрим лишь те из них, которые используются при исследовании точности технологических операций.

Наиболее важными числовыми параметрами распределения являются параметры, характеризующие положение кривой распределения на оси абсцисс, степень рассеяния значений случайной величины, степень асимметрии и крутости кривой распределения.

Из характеристик положения важнейшую роль играет математическое ожидание (среднее значение) случайной величины указывающее некоторое среднее ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы ее «представителем» и заменяющее ее при грубо ориентировочных расчетах. Математическое ожидание определяется формулой вида

Характеристикой рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания является дисперсияS 2 , которая определяется следующей формулой:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что в практике анализа не всегда удобно. Для наглядности характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной среднего квадратического отклонения S, получаемой извлечением корня из дисперсии и равной

Для закона нормального распределения изменение среднего квадратического отклонения приводит к изменению формы кривой. Так как для кривой распределения расположенная под ней площадь равна единице, то изменение среднеквадратического отклонения равносильно изменению масштаба кривой распределения — увеличению масштаба по одной оси и уменьшению по другой, так, как это показано на рис. 3.

Рис.3.Кривая нормального распределения при различных значениях среднего квадратического отклонения

Распределения случайной величины могут быть симметричными и асимметричными по отношению к математическому ожиданию. Например, асимметричность распределения признака качества обрабатываемых деталей вызывается систематическими ошибками (износ и деформация инструмента, температурные деформации и т.д.). Асимметрия находится из выражения

Степень крутости, т.е. островершинности или плосковершинности кривой распределения оценивается при помощи эксцесса E, который рассчитывается по формуле

В технологии приборостроения интерес представляет не просто степень крутости кривой распределения, а ее отклонение от степени крутости образцовой кривой распределения, в качестве которой выбирается кривая нормального распределения. Для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые более островершинные по сравнению с нормальной обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом. На рис. 4 представлены нормальное распределение (кривая 1), распределение с положительным эксцессом (кривая 2) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая 3).

2.3. Определение эмпирического закона распределения производственных погрешностей.

Определение эмпирической кривой плотности распределения вероятности производственных погрешностей исследуемой технологической операции производится с помощью больших и малых выборочных совокупностей (выборок). Выборка – совокупность элементов (деталей), которые выбираются из генеральной совокупности для получения достоверных сведений о всей совокупности. Число членов n, образующих выборку, составляет ее объем. Большой выборочной совокупностью считается выборка объемомn>20, а малой –n<20. От правильного определения объема выборки зависит объем исследований, сроки, в которые оно будет проведено, затраты, а также точность и достоверность результатов исследования.

Рис. 4. Кривые плотности распределения
вероятности с различными значениями эксцесса

Выборки по отношению ко времени их образования могут быть единовременными и мгновенными (текущими). Единовременной является выборка, которая отобрана из партии деталей после их изготовления. Для обеспечения представительности выборки все детали должны быть перемешаны между собой. Мгновенной является выбора, которая состоит из деталей, последовательно изготовленных за определенный промежуток времени на данном станке при данной настройке.

По мгновенной выборке объемом от 5 до 20 деталей, полученных в последовательности их обработки на одном станке, определяют влияние случайных факторов на качество изготовления деталей. По общей выборке, состоящей из 10 и более мгновенных выборок, взятых последовательно с одного станка за межнастроечный период или с момента установки нового инструмента до его замены, определяют раздельно влияние случайных и систематических факторов на качество изготовления деталей за межнастроечных период без учета погрешности настройки.

Совместное влияние случайных и систематических факторов, в том числе и погрешности настройки, на качество деталей, изготовленных на одном станке при одной или нескольких настройках, можно определить по большой единовременной выборке (объем от 50 до 200 деталей) случайно отобранных деталей.

Каждая деталь, входящая в выборку, измеряется с помощью универсально-измерительных приборов, цена деления измерительной шкалы которых должна удовлетворять условию [2]

где — допуск на размер деталей по чертежу, мм.

Результаты измерений деталей выборки в табл. П.1.

Для построения эмпирической кривой распределения все измеренные значения располагают в порядке возрастания или в порядке убывания и разбивают на ряд интервалов. От выбора числа интервалов зависит метод и объем вычислительных работ, а также степень наглядности опытных данных при построении графиков распределения. Рекомендуется [1] при объеме выборки определять число интервалов L по формуле

L=1+3,322lgn, (2.6)

а при объеме выборки — по формуле

Числа интервалов, рассчитанных по формулам (2.6) и (2.7), приведены ниже

n	25-40	40-60	60-100	100-160	160-250	250-400	400-630	630-1000
L

Ширина интервала H, т.е. разность между максимальными и минимальнымиx_jminзначениями признака внутри j-го интервала определяется по формуле

Гдеx_max-x_min — размах выборки;x_max, x_min, — максимальное и минимальное значения признака в выборке.

Определив величину и положение интервалов, необходимо подсчитать частоты или частости для каждого из них. Частота m_j – это количество деталей, входящих в выборку, измеряемый признак качества которых попал в j-й интервал. Частость – отношение числа деталей, признак качества которых попал в j-й интервал? К объему всей выборки. Частость представляет собой эмпирическую вероятность попадания признака качества в j-й интервал, т.е. (знаком “*” будем обозначать все эмпирические характеристики в отличие от теоретических). Сумма эмпирических вероятностей (частостей) всех интервалов очевидно должна быть равна единице

Полученные выше данные удобно представить в виде
табл. 1 и использовать для построения гистограммы, эмпирического закона распределения и расчета его основных характеристик (математического ожидания , дисперсииS 2 , среднего квадратического отклонения S).

Номер интер-вала	Интервал	Середина интервала	Частота mj	Частость	Эмпирич. плотность распред. вероятн.
1	x1min…x2max	m1
…	…	…	…	…	…
J	xjmin…xjmax	mj
…	…	…	…	…	…
L	xlmin…xlmax	ml

Числовые характеристики определяются по формулам (2.3), (2.4), (2.5).

Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются интервалы и на каждом из них, как на основании, строятся прямоугольники, площади которых равны частостям соответствующих интервалов. Для построения гистограммы нужно частость каждого интервала разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине интервалов высоты прямоугольников пропорциональны частостям. Высота j-го прямоугольника представляет собой значение эмпирической плотности распределения вероятности признака качества в j-м интервале, т.е. Для приведения к одинаковому масштабу кривых эмпирического и теоретического распределения при построении гистограммы необходимо пользоваться формулой где Hz — нормированная длина интервала, определяемая из выражения

Гистограмма имеет вид, показанный на рис. 5. Площадь гистограммы равна Из способа построения гистограммы следует, что она является аналогом эмпирической плотности распределения. При увеличении объема выборки и уменьшении длины интервалов гистограмма будет все более приближаться к кривой плотности распределения. На практике эмпирическая кривая плотности распределенияf*(x) проводится следующим образом. На верхней стороне каждого из построенных прямоугольников гистограммы отмечаются точками их середины. Соединяя получение точки кривой, получают график функцииf*(x), представленный на рис. 5.

После построения эмпирического закона распределения и расчета его числовых параметров осуществляется подбор и построение теоретической кривой.

2.4. Определение теоретического закона распределения производственных погрешностей.

Подбор теоретической кривой, соответствующей полученной эмпирической кривой, называется выравниваем статистических рядов. Задача выравнивания заключается в том, чтобы подобрать теоретическую кривую распределения, наиболее точно описывающую полученное эмпирическое распределение.

Подбор теоретической кривой осуществляется на основании математического анализа опытных данных выборочной совокупности или из предложений, что каждому теоретическому закону распределения соответствуют вполне определенные условия функционирования технологических операций. При этом графики эмпирических зависимостей сравниваются с образцами известных кривых. Для определения того, насколько правильно функция описывает опытное распределение, используются различные критерии согласия.

Рис. 5. Гистограмма (1), эмпирическая (2) и теоретическая (3) кривые плотности распределения вероятности

Источник